행렬식(determinant), 소행렬식, 여인수 전개 - 선형대수 5강

| 행렬식의 개요 

행렬식 (determinant)

- 정방행렬에 실수를 대응 시키는 함수.

- 정방행렬 A의 행렬식은 |A| 또는 det A  라고 함

- 행렬식의 귀납적 정의

* n 차 정방행렬의 행렬식은 (n-1)차 정방행렬의 행렬식과 관련지어 귀납적으로 정의

쉽게 말해 정방행렬에 어떤 실수를 대응 시키는 것

참고 : 정칙행렬 : 역행렬이 있는 정방행렬

| 소행렬, 소행렬식, 여인수란

A의 (i,j) 소행렬 : A에서 i 번째 행과 j 번째 열을 제거 시켜 구성되는 (n-1)차 정방행렬

A의 (i,j) 소행렬식(minor) Mij  : A의 (i,j) 소행렬의 행렬식

A의 (i,j) 여인수 (cofactor) Aij :  ,   즉  소행렬식에 i+j 의 규칙에 따라 -  또는 +  를 붙여 주는 것

이를 예를 들어 정리하면 다음과 같다.

행렬식에 대한 계산은 다음과 같이 한다.

여기에서 해당 부호는 다음과 같은 규칙을 따른다.

| 여인수 전개

그러나 위 방법대로 행렬식을 구할경우 계산이 다소 복잡하다 

이를 다르게 표현하는 방법은 여인수 전개라는 것을 통해서 쉽게 행렬식을 구할 수 있다.

여인수 전개는 다음과 같다. 

위 그림에서 여인수 전개 성질에 따라 어느 하나 행을 구해도  행렬식의 값은 같다. 

참고로 첫 행의 여인수 전개 값을 그대로 구하면 다음과 같다.

|A| \ 8 * | 0 0 | - | 0 1 | + 5 | 0 0 |  로  값은 -3이 나온다.

            | 5 1 |   | 5 6 |       | 5 1 |

부호는 위에 부호 규칙을 따른다.

이렇게 구해도 되는데 0 이 포함된 행렬을 구해 나머지 계산을 줄이는 것이 가능하다

즉, 여인수 전개의 성질에 따라서 어느 하나의 행이나 열을 전개해도 나머지 행렬식의 값은 같다.

위에서는 0 이 많이 포함된 2행의 0,0,1 을 선택해 여인수 전개를 함으로써 행렬식의 값을 쉽게 구할 수 있었다. 

| 정리하며

간단히 행렬식의 소행렬, 소행렬식, 여인수, 여인수 전개에 대해서 살펴 보았다.

다음 시간에는 행렬식의 성질에 대해서 정리한다.

| 참고자료

방송통신대학교 교재

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